Un paquet de cartes vaut mieux qu'un cours
Il y a, dans presque chaque maison, un objet pédagogique remarquable qui dort dans un tiroir : un jeu de 52 cartes. Quatre couleurs, treize valeurs, aucune pile à changer. Avec lui, on peut faire comprendre à un enfant de dix ans des idées que beaucoup d'adultes manient mal — ce qu'est une chance sur treize, pourquoi une carte sortie du paquet change tout ce qui suit, et pourquoi dix lancers ne prouvent rien du tout.
Cela tombe d'autant mieux que l'école francophone belge ne s'en charge pas. Dans une carte blanche publiée par La Libre le 4 février 2021, Benoît Jadin, enseignant de mathématiques et membre du Groupe d'Enseignement Mathématique (UCLouvain), relevait que le nouveau Référentiel de mathématiques « ne reprend aucune notion probabiliste de la M3 (troisième maternelle) à la S3 (troisième secondaire), c'est-à-dire pour tout le tronc commun ». En France, les élèves rencontrent la notion dès la classe de cinquième, vers 12-13 ans. Chez nous, le sujet attend longtemps. La table de la cuisine peut combler l'écart.
À retenir
- Un jeu de 52 cartes suffit : une chance sur treize de tirer un as, une sur quatre d'avoir un cœur, une sur deux d'avoir une carte rouge.
- Visez entre 8 et 12 ans pour le raisonnement explicite. Avant, restez au vocabulaire : certain, impossible, probable.
- L'idée centrale tient en une phrase : un paquet de cartes a de la mémoire, une roulette n'en a aucune — et confondre les deux coûte cher.
- Comptez vingt minutes. Au-delà, on perd l'enfant, et l'essentiel est passé avant.
- Trois jeux de société font le travail sans en avoir l'air : Can't Stop, Diamant et Perudo.
À quel âge un enfant peut-il comprendre ça ?
Plus tôt qu'on ne le croit. Fei Xu et Vashti Garcia ont montré, dans Intuitive statistics by 8-month-old infants (PNAS, 2008, vol. 105, p. 5012-5015), que des bébés de huit mois marquent déjà de la surprise devant un tirage improbable : face à une boîte majoritairement blanche, ils regardent plus longtemps quand l'adulte en sort surtout des balles rouges. Avant tout langage, le cerveau compare une poignée à un tout.
Pour le raisonnement explicite, les chercheurs sont plus partagés. Comme le résument Helen Tsakiridou et Eleni Vavyla dans Probability Concepts in Primary School (American Journal of Educational Research, 2015), Piaget estimait qu'« une compréhension systématique des probabilités ne commence pas avant l'âge de 9 à 12 ans », et encore, de manière intuitive plutôt que formelle. Efraim Fischbein, dans The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children (1975), défendait l'inverse : les jeunes enfants ont des intuitions probabilistes exploitables, et les notions de hasard « doivent être intégrées aux leçons de mathématiques dès le primaire, et pas seulement dans les classes supérieures ».
En pratique, visez entre 8 et 12 ans pour ce qui suit. Avant, on reste dans le vocabulaire : certain, impossible, probable. Après, l'enfant peut poser les fractions lui-même.
Comment calcule-t-on une probabilité avec un jeu de 52 cartes ?
Tout part d'une règle unique : les cas qui vous intéressent, divisés par les cas possibles. Avec 52 cartes bien mélangées :
- Tirer un as : 4 as sur 52 cartes, soit 4/52 = 1/13, environ 7,7 %.
- Tirer un cœur : 13 sur 52, soit exactement 25 %.
- Tirer une carte rouge : 26 sur 52, soit 50 %.
Faites-les calculer à voix haute. Le plus utile n'est pas le résultat, c'est le geste : compter le dessus de la fraction, compter le dessous.
Pourquoi la deuxième carte ne se calcule-t-elle pas comme la première ?
Voici l'idée qui vaut la soirée. Vous tirez une carte, vous la gardez, vous en tirez une seconde. Le paquet ne contient plus 52 cartes mais 51 — et ce qui est parti ne reviendra pas.
Demandez : « quelle chance a-t-on que les deux premières cartes soient de la même couleur ? » Presque tout le monde répond 50 %. C'est faux, et de peu, ce qui rend la chose délicieuse. La première carte, quelle qu'elle soit, laisse derrière elle 25 cartes de sa couleur parmi les 51 restantes. La réponse est 25/51, soit 49,0 %. Un point en dessous de l'intuition — assez pour qu'un enfant voie que l'intuition ne suffit pas.
Même chose, en plus net, avec les as. Deux as d'affilée sans remettre la première carte : 4/52 × 3/51 = 1/221, soit 0,45 %, une fois sur 221. Si on remet la carte et qu'on remélange, c'est 4/52 × 4/52 = 1/169, soit 0,59 %. Le premier as a rendu le second plus rare, parce qu'il n'en restait que trois.
Le même raisonnement, à l'envers, explique pourquoi un cœur sorti rend le cœur suivant moins probable (12/51, soit 23,5 %) alors qu'une carte d'une autre couleur le rend plus probable (13/51, soit 25,5 %). C'est toute la différence entre un paquet de cartes, qui a de la mémoire, et un dé, qui n'en a aucune.
Pourquoi vingt tirages ne prouvent-ils rien ?
Deuxième idée, et de loin la plus utile dans la vie. En 1971, Amos Tversky et Daniel Kahneman publiaient Belief in the Law of Small Numbers (Psychological Bulletin, vol. 76, p. 105-110) : nous croyons spontanément qu'un petit échantillon ressemble à l'ensemble dont il sort. Il n'en est rien.
Testez-le. Tirez une carte, notez rouge ou noir, remettez-la, remélangez, vingt fois. Combien de rouges attend-on ? Dix, évidemment. Or la probabilité d'obtenir exactement dix rouges sur vingt tirages est de 184 756 sur 1 048 576, soit 17,6 % — moins d'une fois sur cinq. Même ce résultat « normal » reste minoritaire : il n'arrive pas une fois sur cinq. Et il y aura des séries : quatre, cinq, six rouges de suite n'ont rien d'anormal.
L'exemple extrême est resté célèbre. Le 18 août 1913, au casino de Monte-Carlo, la bille est tombée 26 fois de suite sur le noir. Les joueurs se sont rués sur le rouge, persuadés qu'il « devait » sortir, et ont perdu des millions de francs. La roulette, elle, ne se souvenait de rien. C'est la leçon à faire passer : une carte a de la mémoire, une roulette n'en a pas, et confondre les deux coûte cher.
Quelle expérience faire ce soir à la table de la cuisine ?
- Prenez une feuille, deux colonnes : « prédiction » et « résultat ».
- Avant chaque tirage, l'enfant annonce plus haut ou plus bas que la carte visible, et dit pourquoi en comptant les cartes restantes.
- Ne remettez pas les cartes. Au bout de dix tirages, demandez-lui si son raisonnement de départ tient toujours. Il ne tient plus : le paquet a changé.
- Recommencez vingt fois en remettant la carte à chaque fois. Comparez les deux feuilles. La différence entre les deux, c'est tout le chapitre.
Comptez vingt minutes. Au-delà, on perd l'enfant — et l'essentiel est passé avant.
Quels jeux de société enseignent les probabilités sans en avoir l'air ?
- Can't Stop, de Sid Sackson (Parker Brothers, 1980), de 2 à 4 joueurs. On lance quatre dés, on les groupe en deux paires et on additionne chaque paire pour avancer sur des colonnes numérotées de 2 à 12. Le plateau est une leçon à lui seul : les colonnes comptent respectivement 3, 5, 7, 9, 11, 13, 11, 9, 7, 5 et 3 cases, exactement à l'image de la fréquence des sommes. Le 7 est long parce qu'il sort souvent. Le jury du Spiel des Jahres l'a recommandé en 1982.
- Diamant (Incan Gold en anglais), d'Alan R. Moon et Bruno Faidutti (Schmidt Spiele, 2005), de 3 à 8 joueurs, dès 8 ans, vingt minutes. On explore une mine, on ramasse des pierres, et à chaque tour on choisit : repartir avec son butin ou continuer malgré les araignées et les serpents. Cinq manches, et la question revient à chaque carte : combien vaut le risque ?
- Perudo, aussi appelé Dudo, jeu de dés sud-américain. Chaque joueur a cinq dés sous un gobelet ; on annonce combien de dés d'une valeur donnée se cachent sur toute la table, les as comptant comme n'importe quel chiffre, jusqu'à ce que quelqu'un crie « dudo ». On y estime une quantité invisible à partir de ce qu'on voit. C'est de la statistique déguisée en bluff.
Et une fois les enfants couchés ?
Il faut être honnête avec ce qu'on enseigne. Les mathématiques du hasard valent la peine précisément parce qu'elles ne sont pas neutres : quand on les retourne, elles montrent toujours le même résultat. Sur une roulette européenne, il y a 37 cases et un numéro plein paie 35 fois la mise ; l'écart entre les deux fait une perte moyenne de 1/37, soit 2,70 % de chaque euro misé, indéfiniment. Que l'adulte, une fois le salon rangé, lise une page sur le poker en ligne ou regarde un tournoi à la télévision ne change rien à l'arithmétique — et c'est exactement ce que l'enfant devrait retenir des vingt minutes passées avec les cartes : on peut aimer un jeu et savoir compter ce qu'il coûte. Apprendre les probabilités ne rend personne chanceux. Cela rend lucide, ce qui est nettement plus utile.
Questions fréquentes
À quel âge expliquer les probabilités à un enfant ?
Entre 8 et 12 ans pour le raisonnement explicite, avec les fractions. Avant, on reste au vocabulaire : certain, impossible, probable. Piaget situait la compréhension systématique entre 9 et 12 ans ; Fischbein, dans The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children (1975), défendait au contraire une initiation dès le primaire.
Quelle est la probabilité de tirer un as dans un jeu de 52 cartes ?
Quatre as sur 52 cartes, soit 1/13, environ 7,7 %. La règle est toujours la même : les cas qui vous intéressent divisés par les cas possibles. Un cœur, c'est 13 sur 52, soit 25 % ; une carte rouge, 26 sur 52, soit 50 %.
Faut-il remettre la carte dans le paquet ou non ?
Parce que le paquet ne contient plus 52 cartes mais 51, et que ce qui est parti ne revient pas. Deux as d'affilée sans remettre la première carte, c'est 4/52 × 3/51 = 1/221, soit 0,45 % ; en remettant la carte et en remélangeant, 4/52 × 4/52 = 1/169, soit 0,59 %. Un cœur déjà sorti rend le cœur suivant moins probable (12/51, 23,5 %).
Pourquoi dit-on qu'une roulette n'a pas de mémoire ?
Parce que rien n'en sort définitivement, contrairement à un paquet de cartes. Le 18 août 1913, au casino de Monte-Carlo, la bille est tombée 26 fois de suite sur le noir : les joueurs se sont rués sur le rouge en pensant qu'il « devait » sortir, et ont perdu des millions de francs. C'est toute la différence à faire comprendre.
Combien de temps doit durer la séance ?
Vingt minutes. Au-delà, on perd l'enfant, et l'essentiel — la différence entre tirer avec remise et tirer sans remise — est passé avant.
